場合の数の問題

普通部の平成20年度の算数の問題です。


下の枠に1~8までの数をひとつずつ入れます。

どの数も右隣りの数より小さく、また真下の数より小さくなるように入れるとき、何通りの並べ方がありますか。


見たとき、これは良い問題だと思いました。 この年は9番もなかなか難しい、しかし良い問題だと思ったので、記憶に残っています。

普通部だから、それほど時間がかかる問題ではないはずだが、それでもある程度場合わけをしなければいけないことは明白で、問題はその分け方だったのですが、一気に上の4つを決めてしまうことができます。

解説をわかりやすくするために名前を付けましょう。

A=1 H=8は決まりです。 最小の数は一番左上、最大の数は一番右下でなければなりません。

Bより小さい数はAか、AとEだけです。したがってBには2か3が入ることになります。

B=2とすると、上のABCDは

1234、1235、1236、1237
1245、1246、1247、
1256、1257

といれることができます。

1267がだめなのは、Gに入るものがなくなるからで、Dに使えるのは5までなのです。

1234 の場合は 下は5678
1235 の場合は 下は4678
1245 の場合は 下は3678

というように1つずつ決まっていきますので、ここで9通り。

では次にB=3だとすると ABCDは

1345、1346、1347
1356、1357

ということで5通り。

上が1345と決まれば下は2678と1つ決まるのは上と同じです。

したがって9+5=14通り

ということになります。

一気に上4つを決めてしまう、ということが一つの突破口で、これに気が付いてしまうとあとは簡単になるでしょう。

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